Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I） （II）

【解析】試題分析：（I）將a的值代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)；，將x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函數(shù)遞增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．

（II）將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立；通過構(gòu)造函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的根與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，求出新函數(shù)的最值，求出a的范圍．

試題解析：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，，

可知當(dāng)x∈[1，e]時(shí)f（x）為增函數(shù)，

最小值為，

要使x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（2）已知函數(shù)．

若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，

等價(jià)于對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即恒成立．

設(shè)．

即g（x）的最大值小于0.

（1）當(dāng)時(shí)，，

∴為減函數(shù)．

∴g（1）=﹣a﹣≤0

∴a≥﹣

∴

（2）a≥1時(shí)，．

為增函數(shù)，

g（x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時(shí)不滿足條件．

（3）當(dāng)時(shí)，g（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

同樣最大值可無窮大，不滿足題意．綜上．實(shí)數(shù)a的取值圍是．