【題目】已知曲線T上的任意一點到兩定點的距離之和為，直線l交曲線T于A、B兩點，為坐標(biāo)原點.

（1）求曲線的方程；

（2）若不過點且不平行于坐標(biāo)軸，記線段AB的中點為M，求證：直線的斜率與l的斜率的乘積為定值；

（3）若OAOB，求△面積的取值范圍.

【答案】（1）（2）證明過程詳見解析（3）

【解析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓，直接寫出橢圓的方程．

（2）設(shè)直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達(dá)定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．

（3）當(dāng)直線OA，OB分別與坐標(biāo)軸重合時，△AOB的面積，當(dāng)直線OA，OB的斜率均存在且不為零時，設(shè)OA：y＝kx，OB：y，將y＝kx代入橢圓C，得到A點坐標(biāo)，同理得到B點坐標(biāo)，由利用換元法結(jié)合已知條件能求出△AOB的面積的取值范圍．

解：（1）由題意知曲線是以原點為中心，長軸在軸上的橢圓，

設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，

所以，∴ .

（2）證明：設(shè)直線的方程為，

設(shè)

則由 可得，即

∴，∴ ，

，

，

∴直線的斜率與 的斜率的乘積=為定值

（3）當(dāng)直線、分別與坐標(biāo)軸重合時，易知的面積，

當(dāng)直線、的斜率均存在且不為零時，設(shè)直線、的方程為：， 點，

由 可得，

∴，代入得 ，

同理可得，

∴

令，，

則

由知 ，

綜上可知， .

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第23屆冬季奧運(yùn)會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運(yùn)會期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：

收看時間（單位：小時）

[0,1)

[1,2)

[2,3)

[3,4)

[4,5)

[5,6)

收看人數(shù)

14

30

16

28

20

12

（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達(dá)人”，否則定義為“非體育達(dá)人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全列聯(lián)表：

男

女

合計

體育達(dá)人

40

非體育達(dá)人

30

合計

并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān)；

（2）在全�！绑w育達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達(dá)人”中選取2名作冬奧會知識講座．求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市規(guī)定，高中學(xué)生在校期間須參加不少于80小時的社區(qū)服務(wù)才合格．某校隨機(jī)抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段（單位：小時）進(jìn)行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生人數(shù)；

（2）從參加社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的學(xué)生中任意選取2人，求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知關(guān)于實數(shù)x的一元二次方程．

Ⅰ若a是從區(qū)間中任取的一個整數(shù)，b是從區(qū)間中任取的一個整數(shù)，求上述方程有實根的概率．

Ⅱ若a是從區(qū)間任取的一個實數(shù)，b是從區(qū)間任取的一個實數(shù)，求上述方程有實根的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某科技創(chuàng)新公司投資萬元研發(fā)了一款網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)品，產(chǎn)品上線第1個月的收入為40萬元，預(yù)計在今后若干個月內(nèi)，該產(chǎn)品每月的收入平均比上一月增長，同時，該產(chǎn)品第1個月的維護(hù)費(fèi)支出為萬元，以后每月的維護(hù)費(fèi)支出平均比上一個月增加50萬元.

（1）分別求出第6個月該產(chǎn)品的收入和維護(hù)費(fèi)支出，并判斷第6個月該產(chǎn)品的收入是否足夠支付第6個月的維護(hù)費(fèi)支出？

（2）從第幾個月起，該產(chǎn)品的總收入首次超過總支出？（總支出包括維護(hù)費(fèi)支出和研發(fā)投資支出）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x, y, z, 用綜合指標(biāo)S =" x" + y + z評價該產(chǎn)品的等級. 若S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品. 現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中, 隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本, 其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:

產(chǎn)品編號

A1

A2

A3

A4

A5

質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z)

(1,1,2)

(2,1,1)

(2,2,2)

(1,1,1)

(1,2,1)

產(chǎn)品編號

A6

A7

A8

A9

A10

質(zhì)量指標(biāo)(x, y, z)

(1,2,2)

(2,1,1)

(2,2,1)

(1,1,1)

(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率;

(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品,

(1) 用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果;

(2) 設(shè)事件B為 “在取出的2件產(chǎn)品中, 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”, 求事件B發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙二人同時從地趕往地，甲先騎自行車到兩地的中點再改為跑步；乙先跑步兩地的中點再改為騎自行車，最后兩人同時到達(dá)地.甲騎自行車比乙騎自行車的速度快，并且兩人騎車的速度均大于跑步的速度.現(xiàn)將兩人離開地的距離與所用時間的函數(shù)關(guān)系用圖像表示如下，則這四個函數(shù)圖像中，甲、乙兩個運(yùn)動函數(shù)關(guān)系的分別是（ ）

A.①、②B.①、④C.②、③D.③、④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知球與正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)的所有表面都相切，并且該三棱柱的六個頂點都在球上，則球與球的表面積之比為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點M(1，），過點P(2,1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線l，滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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