Question

已知橢圓（a＞b＞0）上的一動點P到右焦點的最短距離為，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于定點Q；
（3）在（2）的條件下，過點Q的直線與橢圓C交于M，N兩點，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得解得，
∴橢圓C的方程為；
（2）如圖所示：
設直線PB的方程為y=k（x-4），B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則A（x₁，-y₁）．
聯(lián)立，
消去y化為方程（1+2k²）x²-16k²x+32k²-4=0，
∵直線PB與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-4）＞0．（*）
x₁+x₂=，．
直線AE的方程為，
令y=0，則====．
故直線AE過定點Q（1，0）．
（3）①當直線MN與x軸重合時，=（2，0）•（-2，0）=-4；
②當直線MN與x軸不重合時，設直線MN的方程為my=x-1，
聯(lián)立消去x化為方程（2+m²）y²+2my-3=0，可知△＞0．
可得y_M+y_N=，y_My_N=．
∴=x_Mx_N+y_My_N=（my_M+1）（my_N+1）+y_My_N=（1+m²）y_My_N+m（y_M+y_N）+1
==-4+，
∵m²≥0，∴，∴，
∴的取值范圍是．
綜上可知：的取值范圍是．
分析：（1）利用橢圓的定義和性質(zhì)即可解出a、b、c；
（2）利用點斜式方程得出直線PB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)之間的關系得出點P、B的坐標之間的關系，再利用點斜式表示直線AE的方程，進而即可證明過定點；
（3）分類討論直線MN是否與x軸垂直，與橢圓方程聯(lián)立得出點MN的坐標之間的關系，再表示出，進而即可求出其取值范圍．
點評：熟練掌握橢圓的定義和性質(zhì)、直線與圓錐曲線的相交問題的解題模式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系及分類討論的思想方法是解題的關鍵．