Question

用1、2、3、4四個(gè)數(shù)字可重復(fù)地任意排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)由小到大排成一個(gè)數(shù)列{a_n}．
（1）寫出這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)；
（2）這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？
（3）若a_n=341，求n．

Answer 1

分析：（1）由題意寫出數(shù)列{a_n}的前8項(xiàng)，即可得到這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)的值．
（2）這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)就是用1、2、3、4排成的三位數(shù)，每個(gè)位上都有4種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，求得結(jié)果．
（3）比a_n=341小的數(shù)有兩類：①百位上是1或2的；②百位上是3且十位上是1或2或3的，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，
把這兩類數(shù)的個(gè)數(shù)相加后再加上1，即得n的值．

解答：解：（1）由題意可得，數(shù)列{a_n}的前8項(xiàng)分別為：111，112，113，114，121，122，123，124，
故這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)為124．（3分）
（2）這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)就是用1、2、3、4排成的三位數(shù)，每個(gè)位上都有4種排法，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有4×4×4=64項(xiàng)．（6分）
（3）比a_n=341小的數(shù)有兩類：①百位上是1或2的，共有2×4×4=32（個(gè)）；
②百位上是3且十位上是1或2或3的，共有1×3×4=12（個(gè)）．
再根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，比a_n=341小的數(shù)有 32+12=44 （個(gè)）．
∴所求的n=44+1=45．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．