Question

已知圓x²+y²+4x+10y+4=0.求證：

(1)點(diǎn)A(1，-2)在圓內(nèi).若過A作直線l，并且被圓所截得的弦被點(diǎn)A平分，求此直線的方程.

(2)點(diǎn)B(1，-1)在圓上，并求出過點(diǎn)B的圓的切線方程.

(3)點(diǎn)C(1，0)在圓外，并求出過點(diǎn)C的圓的切線方程.

Answer 1

解析：圓心M(-2，-5)，半徑r=5.

(1)∵，

∴點(diǎn)A在圓內(nèi).

若直線l垂直于x軸，弦不被點(diǎn)A平分，不合題意，故直線l的斜率存在.設(shè)其方程為:y+2=k(x-1)，交點(diǎn)P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，則

∴(1+k²)x²-2(k²-3k-2)x+k²-6k-12=0,

∴x₁+x₂=,

∴,

∴k=-1.

∴直線l的方程為:x+y+1=0.

(2)∵1²+(-1)²+4×1+10×(-1)+4=0,

∴點(diǎn)B(1，-1)在圓上，

∴k_BM=,

∴過B(1，-1)的圓的切線：

y+1= (x-1),

∴3x+4y+1=0.

(3)∵,

∴點(diǎn)C(1，0)在圓外，

設(shè)過點(diǎn)C與圓相切的直線方程為：

y=k(x-1),

∴kx-y-k=0,

∵圓與直線相切，

∴,

∴k=0或k=,

∴切線方程為：

y=0或15x+8y-15=0.