Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）＝log2（a）．

（Ⅰ）當a＝1，解不等式f（x）＞1；

（Ⅱ）設(shè)a＞0，若對任意t∈（﹣1，0]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值的和不大于log26，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（﹣∞，0）；（Ⅱ）[﹣4，1]．

【解析】

（I）當時，結(jié)合對數(shù)不等式、指數(shù)不等式的解法，求得不等式的解集.

（II）首先判斷的單調(diào)性，由此求得在區(qū)間上的最大值和最小值，根據(jù)最大值和最小值的和不大于列不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（Ⅰ）當a＝1時，，則，

∴，解得x＜0，

∴不等式的解集為（﹣∞，0）；

（Ⅱ）∵在R上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為，最小值為，

∴，即，

令，則（2h+a）（h+a）≤6，即2h2+3ah+a2≤6，

∵y＝2h2+3ah+a2在上單調(diào)遞增，

∴，解得﹣4≤a≤1，

∴實數(shù)a的取值范圍時[﹣4，1]．