【題目】已知過的動圓恒與軸相切,設切點為是該圓的直徑.
(Ⅰ)求點軌跡的方程;
(Ⅱ)當不在y軸上時,設直線與曲線交于另一點,該曲線在處的切線與直線交于點.求證: 恒為直角三角形.
【答案】(1) ;(2) 證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)設點 ,點是點在 軸射影的中點,即 ,根據幾何關系可知 ,將其轉化為數(shù)量積的坐標表示即為軌跡方程;(Ⅱ)設直線的方程為 與拋物線方程聯(lián)立,交于兩點,設 ,根據導數(shù)的幾何意義求和兩點的直線斜率求 ,證明 ,即說明是直角三角形.
試題解析:(Ⅰ) 設點坐標為,則點坐標為.
因為是直徑,所以,或、均在坐標原點.
因此 ,而 , ,
故有,即,
另一方面,設是曲線上一點,
則有,
中點縱坐標為,
故以為直徑的圓與 軸相切.
綜上可知點軌跡的方程為.
(Ⅱ)設直線的方程為,
由得:
設 ,則有.
由對求導知,
從而曲線E在P處的切線斜率,
直線的斜率,
于是 .
因此
所以恒為直角三角形.
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【題目】在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A= ,b2﹣a2= c2 .
(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面積為3,求b的值.
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【題目】設函數(shù), 的圖象在點處的切線與直線平行.
(1)求的值;
(2)若函數(shù)(),且在區(qū)間上是單調函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】2015年12月,華中地區(qū)數(shù)城市空氣污染指數(shù)“爆表”,此輪污染為2015年以來最嚴重的污染過程,為了探究車流量與的濃度是否相關,現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據如表:
時間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
車流量(萬輛) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的濃度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)由散點圖知與具有線性相關關系,求關于的線性回歸方程;(提示數(shù)據: )
(2)(I)利用(1)所求的回歸方程,預測該市車流量為12萬輛時的濃度;(II)規(guī)定:當一天內的濃度平均值在內,空氣質量等級為優(yōu);當一天內的濃度平均值在內,空氣質量等級為良,為使該市某日空氣質量為優(yōu)或者為良,則應控制當天車流量不超過多少萬輛?(結果以萬輛為單位,保留整數(shù))參考公式:回歸直線的方程是,其中, .
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【題目】已知直線: (為給定的正常數(shù), 為參數(shù), )構成的集合為,給出下列命題:
①當時, 中直線的斜率為;
②中的所有直線可覆蓋整個坐標平面.
③當時,存在某個定點,該定點到中的所有直線的距離均相等;
④當時, 中的兩條平行直線間的距離的最小值為;
其中正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
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【題目】(本小題滿分8分) 已知拋物線C:y=-x2+4x-3 .
(1)求拋物線C在點A(0,-3)和點B(3,0)處的切線的交點坐標;
(2)求拋物線C與它在點A和點B處的切線所圍成的圖形的面積.
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【題目】給出下列命題:
①函數(shù) 是奇函數(shù);
②存在實數(shù)x,使sinx+cosx=2;
③若α,β是第一象限角且α<β,則tanα<tanβ;
④ 是函數(shù) 的一條對稱軸;
⑤函數(shù) 的圖象關于點 成中心對稱.
其中正確命題的序號為 .
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