Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過(guò)A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（1）求棱A₁A的長(zhǎng)；
（2）若線段AC與BD交于點(diǎn)E，求證：D₁E∥平面A₁C₁B；
（3）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，指出線段C₁P的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A₁A=h，已知幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為

40

3

，利用等體積法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，進(jìn)行求解．
（2）取A₁C₁的中點(diǎn)F，連接D₁F，要證D₁E∥平面A₁C₁B，只需要證明D₁E∥BF，只需證明邊形D₁FBE為平行四邊形，利用條件可證；
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過(guò)Q作QP∥CB交BC₁于點(diǎn)P，推出A₁P⊥C₁D，證明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽R(shí)t△C₁CD，再根據(jù)△C₁PQ∽△C₁BC，可求線段C₁P的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）設(shè)A₁A=h，∵幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為

40

3

，
∴VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁=

40

3

，
即S_ABCD×h-

1

3

×S△A₁B₁C₁×h=

40

3

，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

，解得h=4．
∴A₁A的長(zhǎng)為4．
（2）取A₁C₁的中點(diǎn)F，連接D₁F
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁∥DD₁，且AA₁=DD₁，DD₁∥CC₁，DD₁=CC₁，E是AC的中點(diǎn)．
∴AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁
∴四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，又F是A₁C₁的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，
∴AA₁∥EF，且AA₁=EF，
∴DD₁∥EF，且DD₁=EF，
∴四邊形EFD₁D為平行四邊形
∴D₁F∥DE，且D₁F=DE，
∴D₁F∥EB，且D₁F=EB
∴四邊形D₁FBE為平行四邊形，
∴D₁E∥BF
∵BF?平面A₁C₁B，D₁E?平面A₁C₁B，
∴D₁E∥平面A₁C₁B
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
過(guò)Q作QP∥CB交BC₁于點(diǎn)P，則A₁P⊥C₁D．
因?yàn)锳₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，∴A₁P⊥C₁D．
∵Rt△D₁C₁Q∽R(shí)t△C₁CD，
∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，∴C₁Q=1
∵△C₁PQ∽△C₁BC，
∴

C1P

C1B

=

C1Q

C1C

，
即

C1P

2 5

=

1

4

，
∴C1P=

5

2

．
∴在線段BC₁上存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，且線段C₁P的長(zhǎng)為

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線面的位置關(guān)系，空間角的計(jì)算等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和探究能力．