Question

已知由實數(shù)組成的集合A滿足：若x∈A，則

1

1-x

∈A，
（1）設(shè)A中含有3個元素，且2∈A，求A；
（2）A能否是僅含一個元素的單元素集，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)知，x與

1

1-x

都在集合A中，故由2∈A，在利用

1

1-x

進(jìn)行求解，直到求出三個元素為止，用列舉法表示出來；
（2）由x與

1

1-x

都在集合A中，再由集合A只含有一個元素得，故假設(shè)a∈A時，有a=

1

1-a

進(jìn)行求解，若有解則存在，若無解則不存在．

解答：解：（1）∵2∈A，∴

1

1-2

∈A，即-1∈A，
∴

1

1-(-1)

∈A，即

1

2

∈A，
∴A={2，-1，

1

2

}，
（2）假設(shè)A中僅含一個元素，不妨設(shè)為a，則a∈A，有

1

1-a

∈A，又A中只有一個元素，
∴a=

1

1-a

，即a²-a+1=0，但此方程△＜0，即方程無實數(shù)根，
∴不存在這樣的實數(shù)a、故A不可能是單元素集合．

點評：本題考查了元素與集合的關(guān)系，主要根據(jù)集合元素的特征進(jìn)行求解，對于存在型的問題，需要先假設(shè)存在有條件列出方程進(jìn)行求解說明，考查了邏輯思維能力．