Question

已知由實(shí)數(shù)組成的集合A滿足條件：若x∈A，則必有∈A.

    （1）設(shè)A中恰有三個(gè)元素，且2是其中的一個(gè)，求這時(shí)的集合A；

    （2）有人斷定集合A中的元素可以有且僅有一個(gè)，請(qǐng)你作出判斷，看他的斷言是否正確，為什么？

    （3）若集合A≠Ф，試證集合A中的元素個(gè)數(shù)必為3的整數(shù)倍，并給出除（1）中以外的一個(gè)集合A來(lái)．

   

Answer 1

（1）A={-1，2，}（2）不可能（3）、和

解析:

[解答]（1）依題意，2∈A，∴∈A，從而∈A，

    此時(shí)，∴A={-1，2，}；

    （2）A不可能是只有一個(gè)元素的集合，否則由x=，得x²-x+1=0，這不可能；

    （3）設(shè)不等于零的a∈A，則∈A，∴∈A，故而，

    由于A≠Ф，且A中元素不會(huì)為1個(gè)，∴再只需證得A中元素不會(huì)為2個(gè)即可；

    事實(shí)上，若a∈A，則∈A，∴必有a=，此時(shí)，a²-a+1=0，

    同樣不可能；這即證得集合A中的元素有、與這3個(gè)，

    若，且，同樣可得、和也都在A中，

    當(dāng)時(shí)可知這時(shí)A中的元素有6個(gè)，…，

    故知A中的元素個(gè)數(shù)必為3的整數(shù)倍