【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,經(jīng)過橢圓的左頂點作斜率為的直線交橢圓于點,交軸于點.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知點為線段的中點, ,并且交橢圓于點.

①是否存在定點,對于任意的都有?若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由;

②求的最小值.

【答案】(1;(2)(i)存在點滿足題設(shè);(ii.

【解析】試題分析:(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解;(2)依據(jù)題設(shè)條件運用直線與橢圓的位置關(guān)系進行求解.

試題解析:

1)因為左頂點為,所以,又,所以.

又因為,

所以橢圓的方程為.

2)(i)因為左頂點為,設(shè)直線的方程為,則,消去,得.

所以,解得,

時,

所以,因為點的中點,所以點的坐標為,

,

直線的方程為,令,得點的坐標為,

假設(shè)存在定點,使得,

,即恒成立,

所以恒成立,

所以,即,

因此定點的坐標為.

ii)因為,所以的方程可設(shè)為,

,得點的橫坐標為,

,得

當且僅當,即時取等號,

所以當時, 的最小值為.

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