Question

【題目】設(shè)，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的解析式可得函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；

(2)利用題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得 .

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，，

則，令，則.

易知在上單調(diào)遞減，又

所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，從而，這時(shí)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，從而，這時(shí)單調(diào)遞減.

所以在上的增區(qū)間是 減區(qū)間是

（2）由題可知，則.

根據(jù)題意方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根且，

令得，且，所以

由，其中，

得.將代入左式得：，整理得.

即不等式對(duì)任意恒成立.

①當(dāng)時(shí)，得 ②當(dāng)時(shí)，即

令，易知是上的減函數(shù)，

所以，所以

③當(dāng)時(shí)，即.

在上也是減函數(shù)，,所以

綜上所述