Question

設函數(shù)f（x）=px²+qx-是奇函數(shù)，其中p，q是常數(shù)，且q≠0．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若q＜0，求f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）求f（sinx+cosx）在x∈[0，]上的最大值與最小值．（用q表示）

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）即
即px²-qx-=-（px²+qx-）得2px²=0對任意x≠0恒成立
∴p=0                              …
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=qx-（q≠0）的定義域為{x|x≠0}
∵f（x）=q+
∴當q＜0時，f′（x）＜0恒成立，f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)
又∵x²-1≠0時，x≠±1，
t=x²-1在（0，1），（1，+∞）上遞增，在（-∞，-1），（-1，0）上遞減
∴當q＜0時，f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
當q＜0時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)
當q＞0時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)
∵u=sinx+cosx=sin（x+），x∈[0，]
則u∈[1，]
當q＜0時，函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=0，最小值為f（）=q
當q＞0時，函數(shù)f（x）的最大值為f（）=q，最小值為f（1）=0
分析：（I）由f（x）為奇函數(shù)，故f（-x）=-f（x），代入后根據(jù)多項式相等的充要條件，可得p的值；
（Ⅱ）由（I）可得f（x）的解析式，利用導數(shù)法分析出函數(shù)的單調(diào)性后，進而可由復合函數(shù)單調(diào)性得到f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間
（III）由（II）可得當q＜0時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，當q＞0時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，結(jié)合sinx+cosx在x∈[0，]上的值域為[1，]，代入可得函數(shù)的最值．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，兩角和與差的正弦函數(shù)，函數(shù)的最值，復合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)比較綜合的應用，屬于難題．