Question

由函數y=f（x）確定數列{a_n}，a_n=f（n），函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）能確定數列b_n，b_n=f^-1（n）若對于任意n∈N^*都有b_n=a_n，則稱數列{b_n}是數列{a_n}的“自反函數列”
（1）設函數f（x）=

px+1

x+1

，若由函數f（x）確定的數列{a_n}的自反數列為{b_n}，求a_n；
（2）已知正整數列{c_n}的前項和s_n=

1

2

（c_n+

n

cn

）．寫出S_n表達式，并證明你的結論；
（3）在（1）和（2）的條件下，d₁=2，當n≥2時，設d_n=

-1

anSn2

，D_n是數列{d_n}的前n項和，且D_n＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：解：（1）由f（x）=

px+1

x+1

結合b_n=f^-1（n）若對于任意n∈N^*都有b_n=a_n求解，
（2）由正整數c_n的前n項和sn=

1

2

(cn+

n

cn

)則由通項與前n項和之間的關系求解，要注意分類討論；
（3）在（1）和（2）的條件下，d₁=2，∴D₁=2，則n≥2時，dn=

-1

an s n 2

=

2

n(n-1)

，由D_n是數列d_n的前n項和有D_n=₁+d₂+…+d_n用裂項相消法求解Dn=2(2-

1

n

)，再由D_n＞log_a（1-2a）恒成立，即log_a（1-2a）小于D_n的最小值，只要求得D_n的最小值即可．

解答：解：（1）由題意得
f′(x)=

1-x

X-P

∵f(x)= 

PX+1

X+1

 且f-1(n)=f (n)
∴P=-1∴an=

n-1

n+1

（2）∵正整數c_n的前n項和sn=

1

2

(cn+

n

cn

)
∴c1=

1

2

(c1+

n

c1

)
解之得∴c₁=1，s₁=1
當n≥2時，c_n=s_n-s_n-1
∴2sn=sn-sn-1+

n

sn-sn-1

∴sn+sn-1=

n

sn-sn-1

s_n²-s_n-1²=n
∴s_n-1²-s_n-2²=n-1
s_n-2²-s_n-2²=n-2
s₂²-s₁²=2
以上各式累加，得∴sn2 =1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，sn=

n(n+1) 2

（3）在（1）和（2）的條件下，d₁=2∴D₁=2
當n≥2時，設dn=

-1

an s n 2

=

2

n(n-1)

，由D_n是數列d_n的前n項和
有D_n=₁+d₂+…+d_n
=2[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)…(

1

n-1

-

1

n

)]
=2(2-

1

n

)
綜上Dn=2(2-

1

n

)
因為D_n＞log_a（1-2a）恒成立，所以log_a（1-2a）小于D_n的最小值，
顯然D_n的最小值在n=1時取得，即[D_n]_min=2
∴l(xiāng)og_a（1-2a）＜2
∴a滿足的條件是

a＞0且a≠1 1-2a＞0

，∴l(xiāng)og_a（1-2a）＜2
解得0＜a＜

2

-1

點評：本題一道新定義題，考查了反函數的求法，數列通項與前n項和間的關系以及累加法求通項和裂項相消法求前n項和等知識和方法，綜合性較強．