Question

設(shè)雙曲線的中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線平行于x軸，離心率為

5

2

，且點(diǎn)P（0，5）到此雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為2，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：由雙曲線中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線平行于x軸，可設(shè)雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1．由離心率為

5

2

，可得a²+b²=（

5

2

a）²=c²．由點(diǎn)P（0，5）到此雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為2，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大（�。┲祮栴}來討論，得到a、b應(yīng)滿足的另一關(guān)系式．從而求出a²、b²，本題得解．

解答：解：依題意，設(shè)雙曲線的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
∵e=

c

a

=

5

2

，c²=a²+b²，∴a²=4b²．
設(shè)M（x，y）為雙曲線上任一點(diǎn)，則
|PM|²=x²+（y-5）²
=b²（

y2

a2

-1）+（y-5）²
=

5

4

（y-4）²+5-b²（|y|≥2b）．
①若4≥2b，則當(dāng)y=4時(shí)，
|PM|_min²=5-b²=4，得b²=1，a²=4．
從而所求雙曲線方程為

y2

4

-x²=1．
②若4＜2b，則當(dāng)y=2b時(shí)，
|PM|_min²=4b²-20b+25=4，
得b=

7

2

（舍去b=

3

2

），b²=

49

4

，a²=49．
從而所求雙曲線方程為

y2

49

-

4x2

49

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)--離心率、基本關(guān)系，考查兩點(diǎn)間的距離公式．對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算能力也有一定的考查．