Question

（2012•安徽模擬）已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E、F、G分別是AB，BC，B₁C₁的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

①②③⑤

 （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①P在直線(xiàn)EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，GP始終與平面AA₁C₁C平行；
②點(diǎn)Q在直線(xiàn)BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁QC的體積不變；
③點(diǎn)M是平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)�。亢停�距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡是一條直線(xiàn)；
④以正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意兩個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)連一條線(xiàn)段，其中與棱AA₁異面的有10條；
⑤點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線(xiàn)A₁D₁的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)E的距離的平方差為3，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn)．

Answer 1

分析：畫(huà)出正方體圖形，
①P在直線(xiàn)EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可證面GEF∥平面AA₁C₁C，GP?面GEF，可得結(jié)論；
②Q在直線(xiàn)BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁QC的體積不變；三角形AD₁Q面積不變，C到平面距離不變，體積為定值；
③M是正方體的面A₁B₁C₁D₁內(nèi)到點(diǎn)D和 C₁距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是一條線(xiàn)段，線(xiàn)段A₁D₁滿(mǎn)足題意；
④可列舉出所求與棱AA₁異面的直線(xiàn)，故可判斷；
⑤點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線(xiàn)A₁D₁的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)E的距離的平方差為3，從而可得點(diǎn)P到直線(xiàn)AD的距離的平方=點(diǎn)P到直線(xiàn)A₁D₁的距離平方減去4．

解答：解：①P在直線(xiàn)EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF∥AC，GF∥C₁C，可知面GEF∥平面AA₁C₁C，GP?面GEF，所以①成立；
②Q在直線(xiàn)BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐A-D₁QC的體積不變；如圖（2）三角形AD₁Q面積不變，C到平面距離不變，體積為定值，故②正確；
③M是正方體的面A₁B₁C₁D₁內(nèi)到點(diǎn)D和 C₁距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是一條線(xiàn)段，線(xiàn)段A₁D₁滿(mǎn)足題意，故正確．
④以正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意兩個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)連一條線(xiàn)段，其中與棱AA₁異面的有BC、BC₁、B₁C、B₁C₁、C₁D₁、B₁D₁、CD、CD₁、C₁D、BD₁、B₁D、BD共12條，故不正確；
⑤點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線(xiàn)A₁D₁的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)E的距離的平方差為3，
則點(diǎn)P到點(diǎn)E的距離的平方，等于點(diǎn)P到直線(xiàn)A₁D₁的距離的平方減去3
點(diǎn)P到直線(xiàn)AD的距離的平方=點(diǎn)P到直線(xiàn)A₁D₁的距離平方減去4．
所以，點(diǎn)P到點(diǎn)E的距離的平方=點(diǎn)P到直線(xiàn)AD的距離的平方加上1，點(diǎn)P的軌跡是以E為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分，故正確．
故答案為：①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，軌跡方程，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．