Question

（本小題滿分12分）如圖，矩形所在平面與平面垂直，，且，為上的動點(diǎn).

(Ⅰ)當(dāng)為的中點(diǎn)時，求證：；
(Ⅱ)若，在線段上是否存在點(diǎn)E，使得二面角的大小為. 若存在，確定點(diǎn)E的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)根據(jù)已知條件當(dāng)為中點(diǎn)時，，              
從而為等腰直角三角形，∴，同理可得，∴，
于是，再結(jié)合又平面平面，得到平面得到證明。 (2) 點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)處

試題分析：方法一：不妨設(shè)，則.
(Ⅰ)證明：當(dāng)為中點(diǎn)時，，              
從而為等腰直角三角形，∴，
同理可得，∴，
于是，                        
又平面平面，
平面平面，
平面，  
∴ ，又，∴.………………6分
(Ⅱ)若線段上存在點(diǎn),使二面角為。
過點(diǎn)作于,連接,由⑴ 所以

為二面角的平面角，
…………………………..8分
設(shè), 則中，在中由，得,則,在中 ,所以,所以線段上存在點(diǎn),當(dāng)時，二面角為。                                       .12分
方法二：∵平面平面，平面平面，平面，
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

(Ⅰ)不妨設(shè)，AB=1 
則，
從而，…………………………4分
于是，
所以所以  ………………………………6分
(Ⅱ)設(shè)，則，
.……………………………………8分
易知向量為平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量，
則 即，解得，令則，，
從而，……………………………………………10分
依題意，即，
解得（舍去）， 
所以點(diǎn)在線段BC上距B點(diǎn)處..………………………………………12分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是能熟練的運(yùn)用已學(xué)的線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理來證明線線垂直，同時用平面的法向量來求解二面角的大小。屬于中檔題。