在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2） 以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，設(shè)為圓上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，過圓心作直線的垂線交橢圓右準(zhǔn)線于點(diǎn)．問：直線能否與圓總相切，如果能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，說明理由．

(1) ；（2）能，點(diǎn).

解析試題分析：（1）求橢圓方程，一般要找到兩個(gè)條件，本題中有離心率為，即，另外橢圓過點(diǎn)，說明，這樣結(jié)論易求；（2）存在性命題，問題假設(shè)存在，設(shè)，再設(shè)，首先有，，，于是，寫出直線方程為，讓它與橢圓右準(zhǔn)線相交，求得，與圓相切，則有，即，這是關(guān)于的恒等式，由此利用恒等式的知識(shí)可求得，說明存在，若求不出，說明假設(shè)錯(cuò)誤，不存在.
（1）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/70/0/jvas6.png" style="vertical-align:middle;" />，可令，所以，，即，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                         6分
（2）存在點(diǎn)                               7分
設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e2/0/y5vth1.png" style="vertical-align:middle;" />在以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓上，且不在坐標(biāo)軸上的任意點(diǎn)，
所以 且，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c7/b/ol7i52.png" style="vertical-align:middle;" />，
由，所以，，所以直線的方程為，         10分
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，令，得，
即，                              12分
所以，
又，與圓總相切，故，于是有，
，即恒成立，解之可得，
即存在這樣點(diǎn)，使得與圓總相切．                   16分
考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓、圓的綜合性問題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直線4x－3y－16＝0過橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，且被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)A(3,1)在橢圓E上．
(1)求m的值及橢圓E的方程；
(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

（1）求雙曲線的離心率；
（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，向量，，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距）時(shí)，求直線的斜率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且.
（1）求C的方程；
（2）過F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線與C相較于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的方程為，定直線的方程為．動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與軌跡相切于第一象限的點(diǎn), 過點(diǎn)作直線的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)，并交軌跡于異于點(diǎn)的點(diǎn)，求直線的方程及的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知過點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度。.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且恰好與直線相切，設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線
（1）求曲線C的方程，
（2）直線l與直線l，垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，試探討點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案