Question

已知雙曲線C：x²-y²=1，l：y=kx+1
（1）求直線L的斜率的取值范圍，使L與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)．
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線和雙曲線方程，分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0討論，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)，再由判別式進(jìn)一步討論求解；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，代入雙曲線方程后利用點(diǎn)差法求斜率，從而得到假設(shè)不正確．

解答：解：（1）聯(lián)立方程組

y=kx+1 x2-y2=1

，
消去y得，（1-k²）x²-2kx-2=0．
當(dāng)1-k²=0，即k=±1時(shí)，x=±1；
當(dāng)1-k²≠0，k≠±1時(shí)，△=（-2k）²+4-2（1-k²）=8-4k²  
由△＞0，即8-4k²＞0，得 -

2

＜k＜

2

由△=0，即8-4k²=0，得k=±

2

由△＜0，即8-4k²＜0，得k＜-

2

或k＞

2

綜上知：k∈(-

2，

-1)∪(-1，1)∪(1，

2

)時(shí)，直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)．
k=±

2

時(shí)，直線l與曲線C切于一點(diǎn)，k=±1時(shí)，直線l與曲線C交于一點(diǎn)．
k＜-

2

或k＞

2

直線l與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)．
（2）不存在．
假設(shè)以Q點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在，
當(dāng)過(guò)Q點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．
當(dāng)過(guò)Q點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k．
聯(lián)立方程

x12-y12=1 x22-y22=1

兩式相減得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．
所以過(guò)點(diǎn)Q的直線的斜率為k=1，
所以直線的方程為y=x，即為雙曲線的漸近線
與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．
即所求的直線不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了判別式法判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，訓(xùn)練了利用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦所在直線的斜率，屬中檔題．