Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），g（x）=a^x-1，若f′(3)•g(-

1

2

)＜0，則y=f（x），y=g（x）在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（　�。�

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：由f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1），可求得f'（x）=

2

xlna

，從而f′（3）=

2

3lna

，由g（x）=a^x-1，可求得g（-

1

2

），再由f′(3)•g(-

1

2

)＜0可求得0＜a＜1，從而可判斷答案．

解答：解：∵f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1），
∴f'（x）=

2

xlna

，故f′（3）=

2

3lna

，
又g（x）=a^x-1，
∴g（-

1

2

）=a-

3

2

＞0，
∵f′(3)•g(-

1

2

)＜0，即

2

3lna

•a-

3

2

＜0，
∴0＜a＜1；
∴f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1）為（0，+∞）上的減函數(shù)，
又f（-x）=f（x），
∴f（x）=log_ax²（a＞0，a≠1）為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可排除C、D；
由0＜a＜1得g（x）=a^x-1為減函數(shù)，可排除B，
而A均滿(mǎn)足．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象，難點(diǎn)在于對(duì)a的范圍的確定，考察了學(xué)生綜合分析與應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，屬于中檔題．