Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）結(jié)合的定義域，以及導(dǎo)數(shù)的零點的情況，確定分類討論的標準為，從而求出對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

（2）由（1）可知，只有當時，在定義域內(nèi)有一個零點，即為的極大值點.要使得極大值，等價轉(zhuǎn)化為使得，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，即可得求得的范圍.

（1）函數(shù)的定義域為.

①當時，，∵ ∴

∴ 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.

② 當時，令得， .

（ⅰ）當，即時， ，

∴ 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（ⅱ）當，即時，方程的兩個實根分別為

，.

若，則，此時，當時，.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

若，則，

此時，當時，,單調(diào)遞增

當時， 單調(diào)遞減

綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）解：由(1)得當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故函數(shù)無極值；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

；

則有極大值，其值為， 其中.

而，∴

設(shè)函數(shù)，則，

則在上為增函數(shù).

又，故等價于.

因而 等價于.

即在時，方程的大根大于1，

設(shè)，由于的圖象是開口向下的拋物線，且經(jīng)過點(0,1)，對稱軸，則只需，即

解得，而，

故實數(shù)的取值范圍為.