【題目】已知函數(shù).
(1)若f (x)在區(qū)間(-∞,2)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=0,x0<1,設(shè)直線y=g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x=x0處的切線,求證:f (x)≤g(x).
【答案】(1);(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),通過對恒成立,推出,即可求出的范圍;(2)利用,化簡,通過函數(shù)在處的切線方程為,討論當時, ;當時,利用分析法證明;構(gòu)造函數(shù) ,求出,構(gòu)造新函數(shù),利用公式的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值,然后推出結(jié)論.
試題解析:(1)解 易知f ′(x)=-,
由已知得f ′(x)≥0對x∈(-∞,2)恒成立,
故x≤1-a對x∈(-∞,2)恒成立,∴1-a≥2,∴a≤-1.
即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1].
(2)證明 a=0,則f (x)=.
函數(shù)f (x)的圖象在x=x0處的切線方程為y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f (x0).
令h(x)=f (x)-g(x)=f (x)-f ′(x0)(x-x0)-f (x0),x∈R,
則h′(x)=f ′(x)-f ′(x0)=-=.
設(shè)φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈R,
則φ′(x)=-ex0-(1-x0)ex,∵x0<1,∴φ′(x)<0,
∴φ(x)在R上單調(diào)遞減,而φ(x0)=0,
∴當x<x0時,φ(x)>0,當x>x0時,φ(x)<0,
∴當x<x0時,h′(x)>0,當x>x0時,h′(x)<0,
∴h(x)在區(qū)間(-∞,x0)上為增函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為減函數(shù),
∴x∈R時,h(x)≤h(x0)=0,
∴f (x)≤g(x).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)同時滿足:(1)對于定義域上的任意,恒有;(2)對于定義域上的任意,,當時,恒有,則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個函數(shù)中:①; ②; ③;④,則被稱為“理想數(shù)”的有________(填相應(yīng)的序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為1的正方體中,點是對角線上的動點(點與不重合),則下列結(jié)論正確的是____.
①存在點,使得平面平面;
②存在點,使得平面;
③的面積不可能等于;
④若分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點,使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為F,F關(guān)于原點的對稱點為P,過F作軸的垂線交拋物線于M,N兩點,給出下列三個結(jié)論:
①必為直角三角形;
②直線必與拋物線相切;
③的面積為.其中正確的結(jié)論是___.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為,射線與橢圓的交點為M,過M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于A,B兩點(異于M).
(1)求證:直線AB的斜率為定值;
(2)求面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點在拋物線外,過點作拋物線的兩切線,設(shè)兩切點分別為,,記線段的中點為.
(Ⅰ)求切線,的方程;
(Ⅱ)證明:線段的中點在拋物線上;
(Ⅲ)設(shè)點為圓上的點,當取最大值時,求點的縱坐標.
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【題目】甲廠以千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求),每小時可獲得利潤是元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品小時獲得的利潤不低于元,求的取值范圍;
(2)要使生產(chǎn)千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.
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【題目】如圖,四棱錐中, 為等邊三角形,且平面平面, , , .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若棱錐的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) .
【解析】【試題分析】(I) 取的中點為,連接,.利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可證得,由此證得平面,故,故.(II) 可知是棱錐的高,利用體積公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求得的值,進而求得面積.
【試題解析】
證明:(Ⅰ)取的中點為,連接,,
∵為等邊三角形,∴.
底面中,可得四邊形為矩形,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴.
又,所以.
(Ⅱ)由面面,,
∴平面,所以為棱錐的高,
由,知,
,
∴.
由(Ⅰ)知,,∴.
.
由,可知平面,∴,
因此.
在中,,
取的中點,連結(jié),則,,
∴ .
所以棱錐的側(cè)面積為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】已知圓經(jīng)過橢圓: 的兩個焦點和兩個頂點,點, , 是橢圓上的兩點,它們在軸兩側(cè),且的平分線在軸上, .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)證明:直線過定點.
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