如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為．一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的焦點分別為A、B和C、D．

(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程

(Ⅱ)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1

(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？

若存在，求λ的值，若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　解析：(Ⅰ)由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，

所以橢圓的標準方程為　　1

　　所以橢圓的焦點坐標為(，0)，因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為　　4

　　(Ⅱ)設點P(，)，則＝，＝，所以＝

　　6

　　又點P(，)在雙曲線上，所以有，即，所以

　　＝1　　8

　　(Ⅲ)假設存在常數(shù)，使得恒成立，則由(Ⅱ)知，所以設直線AB的方程為，則直線CD的方程為，

　　由方程組消y得：，設，，

　　則由韋達定理得：　　9

　　所以|AB|＝＝，同理可得　　10

　　|CD|＝＝＝　　11

　　又因為，所以有＝＋

　　＝，所以存在常數(shù)，使得恒成立　　12


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分13分）

  如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的

  左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢

  圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點

  分別 為和

   （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程； 

   （Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

   （Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？

      若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

                                                             

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆山西大學附中高三4月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆廣東省高二下期中文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點平行于的直線在軸上的截距為，與橢圓有A、B兩個

不同的交點

   （Ⅰ） 求橢圓的方程；

    (Ⅱ)  求的取值范圍；                              

   （III）求證:直線、與軸始終圍成一個等腰三角形．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆度黑龍江龍東地區(qū)第一學期高二期末理科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的焦點分別為A、B和C、D。

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程

（Ⅱ）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2=1

（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，請說明理由。

 

 

 

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