Question

（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。（II）(III)見解析。

【解析】本試題主要是考查了雙曲線的方程和橢圓方程的求解以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用。

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和雙曲線的性質(zhì)得到參數(shù)的值，求解結(jié)論。

（2）聯(lián)立方程組，利用韋達定理和判別式得到證明。

（3）假設(shè)存在常數(shù)k，滿足題意，則可結(jié)合韋達定理得到長度關(guān)系進而得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為。