Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，坐標(biāo)原點(diǎn)O到過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式即可求出；
（2）若以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，則|MQ|=|MP|，把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
解答：解：（1）由題意設(shè)此橢圓的方程為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線的方程為：y=x-c，
則解得，∴題意的方程為．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1）滿足條件，使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，因?yàn)橹本�與x軸不垂直，
所以直線l的方程可設(shè)為y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由 可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
由△＞0恒成立，∴．（*）
∵以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴|MQ|=|MP|，
∴=，又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
化為，
把（*）代入上式得，
化為=，
∵k²＞0，∴．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、菱形的性質(zhì)、直線與橢圓的相交問(wèn)題的解題模式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．