Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為

2

2

，坐標原點O到過右焦點F且斜率為1的直線的距離為

2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過右焦點F且與坐標軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義及性質(zhì)、點到直線的距離公式即可求出；
（2）若以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，則|MQ|=|MP|，把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）由題意設此橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，過右焦點F且斜率為1的直線的方程為：y=x-c，
則

c a = 2 2 c 2 = 2 2 a2=b2+c2

解得

c=1 a= 2 b=1

，∴題意的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）假設存在點M（m，0）（0＜m＜1）滿足條件，使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，因為直線與x軸不垂直，
所以直線l的方程可設為y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

 可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
由△＞0恒成立，∴x1+x2=

4k2

1+2k2

．（*）
∵以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴|MQ|=|MP|，
∴

(x2-m)2+y22

=

(x1-m)2+y12

，又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
化為(1+k2)(x1+x2)-2m-2k2=0，
把（*）代入上式得(1+k2)×

4k2

1+2k2

-2m-2k2=0，
化為m=

k2

1+2k2

=

1

2+ 1 k2

，
∵k²＞0，∴0＜m＜

1

2

．

點評：熟練掌握橢圓的定義及性質(zhì)、點到直線的距離公式、菱形的性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題的解題模式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．