Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，,點是棱的中點.請建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求解下列問題：

（Ⅰ）求證：異面直線與互相垂直；

（Ⅱ）求二面角（鈍角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由各面間的垂直關(guān)系，可建立以為坐標(biāo)原點的空間直角坐標(biāo)系，進一步寫出各點的坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，利用兩者數(shù)量積為可證異面直線 與互相垂直；（Ⅱ）通過空間向量間的運算，求出平面的法向量，平面，得出平面的法向量為．進一步利用二面角與兩平面法向量夾角間的關(guān)系求出二面角的余弦值．

試題解析：

證：因為側(cè)面，均為正方形， ，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系

設(shè)，則.

（Ⅰ）證明：由上可知：， ，

所以,所以，所以，異面直線與互相垂直.

（Ⅱ）解： ，

設(shè)平面的法向量為，則有

，， ，

取，得

又因為平面，所以平面的法向量為，分

因為二面角是鈍角，所以，二面角的余弦值為.