Question

已知直線l過橢圓E：x²+2y²=2的右焦點(diǎn)F，且與E相交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）設(shè)

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)（O為原點(diǎn)），求點(diǎn)R的軌跡方程；
（2）若直線l的傾斜角為60⁰，求

1

|PF|

+

1

|QF|

的值．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量關(guān)系式即可求得R的軌跡方程；
（2）設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為F'，在△PF'F中由余弦定理m的值，同理，在△QF'F，設(shè)|QF|=n，也由余弦定理得n的值，最后即可求得

1

|PF|

+

1

|QF|

的值．

解答：解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x，y）

OR

=

1

2

(

OP

+

OQ

)?(x，y)=

1

2

[(x1，y1)+(x2，y2)]?

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

由x2+2y2=2?

x2

2

+y2=1，易得右焦點(diǎn)F（1，0）
當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，直線l的方程是：x=1，根據(jù)對(duì)稱性可知R（1，0）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
代入E有（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0△=8k²+8＞0；x1+x2=

4k2

2k2+1

（5分）
于是R（x，y）：x=

x1+x2

2

=

2k2

2k2+1

；　y=k（x-1）
消去參數(shù)k得x²+2y²-x=0而R（1，0）也適上式，故R的軌跡方程是x²+2y²-x=0
（2）設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為F'，
在△PF'F中∠PFF'=120⁰，|F'F|=2，設(shè)|PF|=m，則|PF′|=2

2

-m
由余弦定理得(2

2

-m)2=22+m2-2•2•m•cos1200?m=

2

2 2 +1

同理，在△QF'F，設(shè)|QF|=n，則|QF′|=2

2

-m
也由余弦定理得(2

2

-n)2=22+n2-2•2•n•cos600?n=

2

2 2 -1

于是

1

|PF|

+

1

|QF|

=

1

m

+

1

n

=

2 2 +1

2

+

2 2 -1

2

=2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的長軸和短軸的長，焦點(diǎn)的坐標(biāo)的求法、軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．