Question

（本小題16分）已知a>0，函數(shù)f（x）=ax－bx².

（I）當b>0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2；

（II）當b>1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2；

（III）當0<b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件.

  

Answer 1

解答：（1）證明：根據(jù)題設(shè)，對任意x∈R，都有f（x）≤1.又f（x）=－b（x－）²+.∴f（）=≤1，∵a>0，b>0，∴a≤2.…………………………………………………………………………4分

（2）證明：必要性：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≥－1.據(jù)此可推出

f（1）≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1. ………………………………………………………6分

對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因為b>1，可得0<<1，可推出f（）≤1，即a·－1≤1，∴a≤2，∴b－1≤a≤2.………………………………………………………8分

充分性：因為b>1，a≥b－1，對任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx²≥b（x－x²）－x≥－x≥－1，即ax－bx²≥－1，因為b>1，a≤2，.………………………………………………………10分

對任意x∈［0，1］，可以推出：

ax－bx²≤2x－bx²－b（x－）²+1≤1，即ax－bx²≤1，∴－1≤f（x）≤1. ……………………12分

綜上，當b>1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2.

（3）解：因為a>0，0<b≤1時，對任意x∈［0，1］有f（x）=ax－bx²≥－b≥－1，即f（x）≥－1；

f（x）≤1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b+1，又a≤b+1f（x）≤（b+1）x－bx²≤1，即f（x）≤1.

所以，當a>0，0<b≤1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b+1. …………………16分