(2012•瀘州模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a、b為實(shí)數(shù)),若f(-1)=0且函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞).
(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)設(shè)F(x)=xf(x),求曲線F(x)在x=1處的切線方程.
分析:(1)根據(jù)f(-1)=0可得a-b+1=0①又函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞)可分析出a>0故可將f(x)=ax2+bx+1變形為f(x)=a(x+
b
2a
)
2
+
4a-b2
4a
故y
4a-b2
4a
所以4a-b2=0②,然后由①②即可求出a,b的值從而求出f(x).
(2)根據(jù)F(x)=xf(x)可求出F(x)的解析式再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線F(x)在x=1處的切線方程的斜率為F(1)然后再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.
解答:解:(1)∵f(-1)=0
∴a-b+1=0①
又函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞)
∴a>0
∵f(x)=ax2+bx+1=a(x+
b
2a
)
2
+
4a-b2
4a

∴y
4a-b2
4a

∴4a-b2=0②
由①②得:a=1,b=2
∴f(x)=x2+2x+1
(Ⅱ)∵F(x)=xf(x)
∴F(x)=3x2+4x+1
∴F(1)=8
又∵F(1)=4
∴曲線F(x)在x=1處的切線方程為y-4=8(x-1)即8x-y-4=0
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究在某點(diǎn)處的切線方程,屬?碱},較難.解題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出F(1)即為曲線F(x)在x=1處的切線方程的斜率!
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lim
x→∞
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5
2+i
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π
3
)
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