Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），設F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求F（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若以y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率 k≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值．
（Ⅲ）是否存在實數m，使得函數y=g（

2a

x2+1

）+m-1的圖象與y=f（1+x²）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出F（x），然后求出F'（x），分別求出F′（x）＞0與F′（x）＜0 求出F（x）的單調區(qū)間；
（II）利用導數的幾何意義表示出切線的斜率k，根據k≤

1

2

恒成立將a分離出來，a≥(-

1

2

x02+x0)max，即可求出a的范圍，從而得到a的最小值；
（III）p函數y=g（

2a

x2+1

）+m-1的圖象與y=f（1+x²）的圖象有四個不同的交點轉化成方程有四個不同的根，分離出m后，轉化成新函數的最大值和最小值．

解答：解：（I）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

a

x

(x＞0)，F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)．
因為a＞0由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上單調遞增；
由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上單調遞減．
（Ⅱ）由題意可知k=F′(x0)=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

對任意0＜x₀≤3恒成立，
即有x0-

1

2

x

2 0

≤a對任意0＜x₀≤3恒成立，即(x0-

1

2

x

2 0

)max≤a，
令t=x0-

1

2

x

2 0

=-

1

2

(

x

2 0

-2x0)=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，
則a≥

1

2

，即實數a的最小值為

1

2

．
（III）若y=g（

2a

x2+1

）+m-1═

1

2

x2+m-

1

2

的圖象與y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同交點，
即

1

2

x2+m-

1

2

=ln(x2+1)有四個不同的根，
亦即m=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

有四個不同的根．
令G(x)=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

，
則G′(x)=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

．
當x變化時G'（x）．G（x）的變化情況如下表：

由表格知：G(0)=

1

2

，G(1)=G(-1)=ln2＞0．
又因為G(2)=G(-2)=ln5-2+

1

2

＜

1

2

可知，當m∈(

1

2

，ln2)時，
方程m=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

有四個不同的解．
∴當m∈(

1

2

，ln2)時，y=g(

2a

x2+1

)+m-1=

1

2

x2+m-

1

2

的圖象與
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同的交點．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數正負之間的關系，導數在函數單調性和最值中的應用，同時考查了導數的幾何意義和恒成立問題，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．