已知，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

  （Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

  （Ⅱ）設數(shù)列的通項，是前項和，證明：．

 

【答案】

（1）時, , 時；（2）見解析.

【解析】.本題是對函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合考查。第一問只要求出函數(shù)的導數(shù)，討論與的大小研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得最值；第二問利用第一問的單調(diào)性與最值把數(shù)列求和與不等式的問題轉(zhuǎn)化求解，有一定的難度。

解：(1)          

        若時,   函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)  ;

      時  函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù),是增函數(shù) ;

綜上所述  時, , 時(6分)

 (2)由（1）可知，時，函數(shù)在定義域的最小值為0，

       在上成立

 令得 

 令

 . 

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的圖象是自原點出發(fā)的一條折線，當n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數(shù)b≠1），設數(shù)列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定義．
（1）求x1、x2和xn的表達式；
（2）求f（x）的表達式，并寫出其定義域；
（3）證明：y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的圖象是自原點出發(fā)的一條折線，當n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數(shù)b≠1），設數(shù)列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定義．
（1）求x1、x2和xn的表達式；
（2）計算
limn→∞
xn；
（3）求f（x）的表達式，并寫出其定義域；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x
n
m
，其中m，n是取自集合{1，2，3}的兩個不同值，則該函數(shù)為偶函數(shù)的概率為
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)的圖像是自原點出發(fā)的一條折線，當時，該圖像是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設數(shù)列由定義.

Ⅰ.求、和的表達式；

Ⅱ.求的表達式，并寫出其定義域；

Ⅲ.證明：的圖像與的圖像沒有橫坐標大于1的交點.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江蘇省蘇州市高三暑假自主學習測試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知函數(shù),其中是取自集合的兩個不同值，則該函數(shù)為偶函數(shù)的概率為_____．

 

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