Question

若函數(shù)f（x）=x²•lna-2x+2在區(qū)間（1，2）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（1，

e

）

．

Answer 1

分析：此題考查的是函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中要先結(jié)合函數(shù)f（x）=x²•lna-2x+2在區(qū)間（1，2）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的條件，轉(zhuǎn)化出不等關(guān)系，利用此不等關(guān)系即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：解：由題意可知：函數(shù)f（x）=x²•lga-2x+2在區(qū)間（1，2）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=-2x+2在區(qū)間（1，2）內(nèi)沒(méi)有且零點(diǎn)．
當(dāng)a≠1時(shí)，由于函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

1

lna

，
當(dāng)

1

lna

≤1或

1

lna

≥2時(shí)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)單調(diào)
∴只需有f（1）•f（2）＜0，
即lna•（4lna-2）＜0，解得0＜lna＜

1

2

，即1＜a＜

e

．
當(dāng)0＜

1

lna

＜2，即時(shí)，△=4-8lna=0，無(wú)解．
綜上，1＜a＜

e

．
故答案為：（1，

e

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想、問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想以及零點(diǎn)定理的相關(guān)知識(shí)，值得同學(xué)們體會(huì)反思．