【題目】如圖,在四棱柱中,側(cè)面底面,,底面為直角梯形,其中,,,O為中點.
(1)求證:平面;
(2)求凸多面體的體積.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)連接、、、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,從而,由此能證明平面.
(2)推導(dǎo)出,從而底面,再證明底面,又
,則凸多面體的體積可求.
(1)證明:如圖,連接、、、,
則四邊形為正方形,所以,
所以四邊形為平行四邊形,
所以,
又平面,平面,
所以平面
(2)解法一:因為,O為中點,所以,
又側(cè)面底面,所以底面
因為,所以是等腰直角三角形,所以.
易證,又側(cè)面底面,所以底面
解法二:因為,O為中點,所以,
又側(cè)面底面,所以底面
因為且,所以且
所以四邊形為平行四邊形,又
所以四邊形為矩形
作于點E,因為底面,所以,
且,所以面
所以四棱錐
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【題目】在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標系的原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓的極坐標方程;
(2)設(shè)曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為,求三條曲線,,所圍成圖形的面積.
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【題目】有一個不透明的袋子,裝有4個大小形狀完全相同的小球,球上分別標有數(shù)字1,2,3,4.現(xiàn)按如下兩種方式隨機取球兩次,每種方式中第1次取到球的編號記為,第2次取到球的編號記為.
(1)若逐個不放回地取球,求是奇數(shù)的概率;
(2)若第1次取完球后將球再放回袋中,然后進行第2次取球,求直線與雙曲線有公共點的概率.
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【題目】某校針對校食堂飯菜質(zhì)量開展問卷調(diào)查,提供滿意與不滿意兩種回答,調(diào)查結(jié)果如下表(單位:人):
學(xué)生 | 高一 | 高二 | 高三 |
滿意 | 500 | 600 | 800 |
不滿意 | 300 | 200 | 400 |
(1)求從所有參與調(diào)查的人中任選1人是高三學(xué)生的概率;
(2)從參與調(diào)查的高三學(xué)生中,用分層抽樣的方法抽取6人,在這6人中任意選取2人,求這兩人對校食堂飯菜質(zhì)量都滿意的概率.
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【題目】如圖,三棱柱中, 平面,,以為鄰邊作平行四邊形,連接.
(1)求證:平面;
(2)若二面角為.
求證:平面平面;
求直線與平面所成角的正切值.
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【題目】袋子中有四張卡片,分別寫有“瓷、都、文、明”四個字,有放回地從中任取一張卡片,將三次抽取后“瓷”“都”兩個字都取到記為事件,用隨機模擬的方法估計事件發(fā)生的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生整數(shù)0,1,2,3四個隨機數(shù),分別代表“瓷、都、文、明”這四個字,以每三個隨機數(shù)為一組,表示取卡片三次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù):
232 | 321 | 230 | 023 | 123 | 021 | 132 | 220 | 001 |
231 | 130 | 133 | 231 | 031 | 320 | 122 | 103 | 233 |
由此可以估計事件發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓C:()的焦距等于短軸的長,橢圓的右頂點到左焦點的距離為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知直線l:()與橢圓C交于A、B兩點,在y軸上是否存在點,使得,且,若存在,求實數(shù)t的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】高鐵是一種快捷的交通工具,為我們的出行提供了極大的方便。某高鐵換乘站設(shè)有編號為①,②,③,④,⑤的五個安全出口,若同時開放其中的兩個安全出口,疏散名乘客所需的時間如下:
安全出口編號 | ①② | ②③ | ③④ | ④⑤ | ①⑤ |
疏散乘客時間(s) | 120 | 220 | 160 | 140 | 200 |
則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是( )
A. ①B. ②C. ④D. ⑤
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,、分別是橢圓的頂點.過坐標原點的直線交橢圓于、兩點,其中在第一象限.過點作軸的垂線,垂足為.設(shè)直線的斜率為.
(1)若直線平分線段,求的值;
(2)當時,求點到直線的距離.
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