【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最小值；

（2）若存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得，求證：.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與所給區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，即分為，和三種情形，根據(jù)單調(diào)性求得最值；（2）令，易得當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，故，根據(jù)單調(diào)性得證.

試題解析：（1）根據(jù)題意，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.

所以.

（2）構(gòu)造函數(shù)，

則.

因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，

所以在區(qū)間上，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以當(dāng)時(shí)，.

根據(jù)（1）中的性質(zhì)，若存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得，不妨設(shè)，則一定有，，當(dāng)時(shí)，，

所以，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若對(duì)于定義在上的連續(xù)函數(shù)，存在常數(shù)（），使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立，則稱(chēng)是回旋函數(shù)，且階數(shù)為.

（1）試判斷函數(shù)是否是一個(gè)階數(shù)為1的回旋函數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）已知是回旋函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若回旋函數(shù)（）在恰有100個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的影響，對(duì)近5年的宣傳費(fèi)和年利潤(rùn)（）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，列出了下表：

（單位：千元）

2

4

7

17

30

（單位：萬(wàn)元）

1

2

3

4

5

員工小王和小李分別提供了不同的方案．

（1）小王準(zhǔn)備用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)你幫助建立關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）

（2）小李決定選擇對(duì)數(shù)回歸模型擬合與的關(guān)系，得到了回歸方程：，并提供了相關(guān)指數(shù)．請(qǐng)用相關(guān)指數(shù)說(shuō)明選擇哪個(gè)模型更合適，并預(yù)測(cè)年宣傳費(fèi)為4萬(wàn)元的年利潤(rùn)．（精確到0.01）（小王也提供了他的分析分析數(shù)據(jù)）

參考公式：相關(guān)指數(shù)

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

，．參考數(shù)據(jù)：，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若g(x)= +在1，+∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：PA∥平面EBD；

（Ⅱ）求二面角EBDP的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠每日生產(chǎn)某種產(chǎn)品噸，當(dāng)日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日銷(xiāo)售完畢，產(chǎn)品價(jià)格隨產(chǎn)品產(chǎn)量而變化，當(dāng)時(shí)，每日的銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）與當(dāng)日的產(chǎn)量滿(mǎn)足，當(dāng)日產(chǎn)量超過(guò)噸時(shí)，銷(xiāo)售額只能保持日產(chǎn)量噸時(shí)的狀況.已知日產(chǎn)量為噸時(shí)銷(xiāo)售額為萬(wàn)元，日產(chǎn)量為噸時(shí)銷(xiāo)售額為萬(wàn)元.

（1）把每日銷(xiāo)售額表示為日產(chǎn)量的函數(shù)；

（2）若每日的生產(chǎn)成本（單位：萬(wàn)元），當(dāng)日產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大？并求出最大值.（注：計(jì)算時(shí)取）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若存在，使得（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（I）求證：恒成立；

（II）若存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列4個(gè)命題：

①為了了解800名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見(jiàn)，打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔為40；

②四邊形為長(zhǎng)方形，，，為中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取得的點(diǎn)到的距離大于1的概率為；

③把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得到的圖象；

④已知回歸直線(xiàn)的斜率的估計(jì)值為，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線(xiàn)方程為.

其中正確的命題有__________．(填上所有正確命題的編號(hào))

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