Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最小值；

（2）若存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與所給區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，即分為，和三種情形，根據(jù)單調(diào)性求得最值；（2）令，易得當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，故，根據(jù)單調(diào)性得證.

試題解析：（1）根據(jù)題意，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí).

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，；

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.

所以.

（2）構(gòu)造函數(shù)，

則.

因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，

所以在區(qū)間上，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以當(dāng)時(shí)，.

根據(jù)（1）中的性質(zhì)，若存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得，不妨設(shè)，則一定有，，當(dāng)時(shí)，，

所以，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，.