如圖，在斜三棱柱中，O是AC的中點，平面，，.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線面垂直的證明、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力、邏輯推理論證能力和計算能力.第一問，利用線面垂直的性質(zhì)得，由已知，利用線面垂直的判定得平面，所以BC垂直面內(nèi)的線，又由于四邊形是菱形，所以，所以利用線面垂直的判定得平面；第二問，通過已知條件中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點坐標(biāo)，利用向量法求出面與面的法向量，再利用夾角公式，求出二面角的余弦值.
試題解析： （1）因為平面，所以．
又，所以平面，所以．     2分
因為，所以四邊形是菱形，所以．
所以平面，
所以．      5分
（2）以為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0，－1，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，2，)．
，，
設(shè)是面的一個法向量，則，
即取．
同理面的一個法向量為．     10分
因為．
所以二面角的余弦值．     12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方形A1BA2C的邊長為4，D是A1B的中點，E是BA2上的點，將△A1DC
及△A2EC分別沿DC和EC折起，使A1、A2重合于A，且平面ADC⊥平面EAC．
（1）求證：AC⊥DE；

（2）求二面角A-DE-C的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；
（2）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿直線BD將△BCD翻折成△BCD，使得平面BCD平面ABD．

(1)求證：C'D平面ABD；
(2)求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在Rt中，， D、E分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2．

（1）求證：平面平面；
（2）若，求與平面所成角的余弦值；
（3）當(dāng)點在何處時，的長度最小，并求出最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙)，設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點．

(1)求證：DC⊥平面ABC；
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點，點G為BC邊的中點．線段AG交線段ED于F點，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。

（1）求證BC⊥平面AFG；
（2）求二面角B－AE－D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)A1、A2、A3、A4、A5是空間中給定的5個不同的點，則使＋＋＋＋＝0成立的點M的個數(shù)為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

向量＝(2,4,x),＝(2,y,2)，若||＝6,且⊥，則x＋y的值為（ ）
A．－3B．1C．－3或1D．3或1

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