Question

【題目】如圖，平面平面，四邊形和是全等的等腰梯形，其中，且，點為的中點，點是的中點.

（I）請在圖中所給的點中找出兩個點，使得這兩個點所在直線與平面垂直，并給出證明；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在線段上是否存在點，使得平面？如果存在，求出的長度，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）；（III）見解析.

【解析】試題分析： 法一：向量法，分別以邊， ， 所在直線為， ， 軸，給出相應(yīng)點坐標(biāo)，證明， 法二：先證 接著證明所以 平面即最后證得結(jié)果(2)要求二面角的平面角的余弦值就先求得平面的法向量，利用公式即可算出結(jié)果(3)法一：借助向量假設(shè)存在，計算可得矛盾，故不存在；法二：假設(shè)存在點，證得平面平面，即有為平行四邊形，所以，矛盾

解析：法一：向量法

（I）， 點為所求的點.

證明如下：

因為四邊形是等腰梯形，點為的中點，點是的中點，

所以.

又平面 平面，平面 平面= ，

所以 平面

同理取的中點，則 平面.

分別以邊， ， 所在直線為， ， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由，得， ， ， ，

則， ， .

所以，

又，

所以平面

（II）由（I）知平面的一個法向量為.

設(shè)平面的法向量為，則

即

令，則，

所以

所以

所以二面角的余弦值為

（III）假設(shè)存在點，使得 平面.

設(shè)

所以 ，所以

而計算可得

這與矛盾

所以在線段上不存在點，使得 平面

法二：（I）證明如下：

因為四邊形是等腰梯形，點為的中點，點是的中點，

所以

又平面平面，平面平面，

所以 平面

因為 平面，所以，

又，且，

所以為菱形，所以

因為，

所以平面.

（III）假設(shè)存在點，使得平面

由，所以為平行四邊形，

所以

因為平面

所以平面

又，所以平面平面，

所以平面，所以，

所以為平行四邊形，所以，矛盾

所以不存在點，使得平面