Question

（2013•楚雄州模擬）（不等式選講）已知函數(shù)f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）當(dāng)m=7時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知：|x+1|+|x-2|＞7，解此絕對值不等式求得函數(shù)f（x）的定義域．
（2）由題意可得，不等式即|x+1|+|x-2|≥m+4，由于x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由題設(shè)知：|x+1|+|x-2|＞7，
不等式的解集是以下不等式組解集的并集：

x≥2 x+1+x-2＞7

，或

1≤x＜2 x+1-x+2＞7

，或

x＜1 -x-1-x+2＞7

解得函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（4，+∞）；
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|≥m+4，
∵x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|≥m+4解集是R，
∴m+4≤3，m的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．