Question

（2013•楚雄州模擬）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=2，AA₁=3，D為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求點(diǎn)A₁到面BDC₁的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用直線與平面平行的判定定理證明AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）通過等體積的方法，求解點(diǎn)A₁到面BDC₁的距離即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，則O為B₁C
的中點(diǎn)，∵D為AC中點(diǎn)∴OD∥A B₁
又∵A B₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁
∴A B₁∥平面BDC₁-----------------------（6分）
（Ⅱ）在直角三角形BDC中過點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為E，連接C₁E．
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁∥CC₁
∴CC₁⊥平面ABC   又∵BD?平面ABC∴CC₁⊥BD
∴BD⊥平面C₁CE∴BD⊥C₁E
在Rt△CBD中，BD=

DC2+CB2

=

5

，CE=

BC•DC

BD

=

2

5

在Rt△C₁CE中，C1E=

C1E2+CE2

=

32+ 4 5

=

7

5

---------（10分）
∵V三棱錐B-A1DC1=V三棱錐A1-BDC1
設(shè)點(diǎn)A₁到面BDC₁的距離為h，則有S△C1BD•h=S△A1DC1•BC
所以h=

3×2

1 2 × 5 × 7 5

=

12

7

---------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理，點(diǎn)到平面的距離的距離的求法，等體積的應(yīng)用，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．