Question

（2013•惠州一模）已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1在x=3處的切線方程為y=5x-8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=ke^x恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）數(shù)列{a_n}滿足2a₁=f（2），an+1=f(an)，n∈N*，求S=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

的整數(shù)部分．

Answer 1

分析：（1）把x=3代入切線方程，求出切點(diǎn)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)得關(guān)于a，b方程，再由f^′（3）=5得另一方程，聯(lián)立求解a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）把（1）中求出函數(shù)f（x）的解析式代入方程f（x）=k e^x，然后轉(zhuǎn)化為k=e^-x（x²-x+1），然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（x）=e^-x（x²-x+1）的極值，根據(jù)函數(shù)g（x）的極值情況，通過(guò)畫簡(jiǎn)圖得到使方程k=e^-x（x²-x+1），即方程f（x）=k e^x恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)的實(shí)數(shù)k的值；
（3）由2a₁=f（2）求出a₁，結(jié)合an+1=f(an)，n∈N*求出a₂，并判斷出數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，進(jìn)一步由an+1=f(an)，n∈N*得到

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，分別取n=1，2，…，代入S=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

后化簡(jiǎn)，則S=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

的整數(shù)部分可求．

解答：解：（1）由f（x）=a x²+bx+1，所以f^′（x）=2ax+b，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=a x²+bx+1在x=3處的切線方程為y=5x-8，所以切點(diǎn)為（3，7）．
則

f′(3)=6a+b=5 f(3)=9a+3b+1=7

，解得：a=1，b=-1．
所以f（x）=x²-x+1；
（2）由（1）知f（x）=x²-x+1，
關(guān)于x的方程f（x）=ke^x恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
即x²-x+1=k•e^x有兩個(gè)不同的實(shí)根，也就是k=e^-x（x²-x+1）有兩個(gè)不同的實(shí)根．
令g（x）=e^-x（x²-x+1），
則g^′（x）=（2x-1）e^-x-（x²-x+1）e^-x
=-（x²-3x+2）e^-x=-（x-1）（x-2）e^-x
由g^′（x）=0，得x₁=1，x₂=2．
所以當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，g^′（x）＜0，g（x）在（-∞，1）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g^′（x）＞0，g（x）在（1，2）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g^′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)；
所以，當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極小值g（1）=

1

e

，當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極大值g（2）=

3

e2

．
函數(shù)y=k與y=g（x）的圖象的大致形狀如下，

由圖象可知，當(dāng)k=

1

e

和k=

3

e2

時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=ke^x恰有兩個(gè)不同的實(shí)根；
（3）由2a₁=f（2）=2²-2+1=3，所以a1=

3

2

＞1，a2=a12-a1+1=(

3

2

)2-

3

2

+1=

7

4

．
又an+1-an=an2-2an+1=(an-1)2＞0，
所以a_n+1＞a_n＞1．
又an+1=f(an)=an2-an+1，所以a_n+1-1=a_n（a_n-1），
則

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，即

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

．
所以S=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

a2012-1

-

1

a2013-1

)
=

1

a1-1

-

1

a2013-1

=

1

3 2 -1

-

1

a2013-1

=2-

1

a2013-1

＜2．
又S=

1

a1

+

1

a2

=

1

3 2

+

1

7 4

=

2

3

+

4

7

=

25

21

＞1．
故S=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

的整數(shù)部分等于1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了數(shù)列的和，解答此題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極值借助于函數(shù)圖象的大致形狀分析函數(shù)零點(diǎn)的情況，是難度較大的題目．