如圖所示，四面體ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．

（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

（1）構(gòu)造向量證明（2）

解析試題分析：（1）證明　作AH⊥平面BCD于H，連接BH、CH、DH，

易知四邊形BHCD是正方形，且AH＝1，以D為原
點(diǎn)，以DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，
以垂直于DB，的直線為z軸，建立空間直角坐
標(biāo)系，如圖所示，則B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(2,2,1)，   
所以＝，＝，  
因此·＝，所以AD⊥BC.       
（2）解：設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x，y，z)，則由n1⊥知：n1·＝
同理由n1⊥知：n1·＝，
可取n1＝，
同理，可求得平面ACD的一個(gè)法向量為       
∴〈n1，n2〉＝＝
即二面角B—AC—D的余弦值為   
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角直線與直線垂直的判定
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定方法，正確運(yùn)用向量法解決面面角問(wèn)題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求直線和平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖：在三棱錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；
（2）求證AC⊥平面DEF；
（3）若M為BD的中點(diǎn)，問(wèn)AC上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面DEF？若存在，說(shuō)明點(diǎn)N的位置；若不存在，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=．

（1）求直線D1B與平面ABCD所成角的大��；
（2）求證：AC⊥平面BB1D1D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)為正方形的中心，四邊形是平行四邊形，且平面平面，若.

(1)求證：平面.
(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F為線段A′D的中點(diǎn)．

(1)求證：EF//平面A′BC；
(2)求直線A′B與平面A′DE所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，三棱錐中，底面于，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：側(cè)面平面；
（2）若異面直線與所成的角為，且，
求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐Ｐ－ABC中, AB="AC=4," D、E、F分別為PA、PC、BC的中點(diǎn), BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF.

（Ⅰ）求證：BE⊥平面PAF；
（Ⅱ）求直線AB與平面PAF所成的角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，且，為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；   　
（Ⅱ）求二面角的大�。�
（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平
面的距離為？若存在，確定點(diǎn)的位置；
若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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