Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（1）已知f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程是y=2x-1，求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）若方程f（x）=λx²（λ＞0）有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程是y=2x-1，建立方程組，從而可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）因?yàn)榉匠蘤（x）=λx²有唯一實(shí)數(shù)解，所以λx²-lnx-x=0有唯一實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=λx²-lnx-x，利用g（x）=0有唯一解，再構(gòu)造函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，利用h（1）=0，可得方程的解，從而可求實(shí)數(shù)λ的值．

解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=1，∴f(1)=-

1

2

a-b=1．
∵f′(x)=

1

x

-ax-b，即f′（1）=1-a-b=2，
∴a=0，b=-1．…（4分）
（2）因?yàn)榉匠蘤（x）=λx²有唯一實(shí)數(shù)解，所以λx²-lnx-x=0有唯一實(shí)數(shù)解．…（6分）
設(shè)g（x）=λx²-lnx-x，則g′(x)=

2λx2-x-1

x

．
令g'（x）=0，則2λx²-x-1=0．
因?yàn)棣耍?，所以△=1+8λ＞0，方程有兩異號(hào)根，設(shè)為x₁＜0，x₂＞0，因?yàn)閤＞0，所以x₁應(yīng)舍去．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=x₂時(shí)，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．…（8分）
因?yàn)間（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

λ x 2 2 -lnx2-x2=0 2λ x 2 2 -x2-1=0.

…（10分）
因?yàn)棣耍?，所以2lnx₂+x₂-1=0．（*）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1．因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因?yàn)閔（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1．
代入方程組解得λ=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程解的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．