Question

如圖，矩形中，，．，分別在線段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）求四面體體積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601205701153732/SYS201205260122450584812426_DA.files/image001.png">，都是矩形，

      所以 ∥∥，．

      所以 四邊形是平行四邊形，……………2分

      所以 ∥，             ………………3分

      因?yàn)?平面，

所以 ∥平面．        ………………4分

（Ⅱ）證明：連接，設(shè)．

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601205701153732/SYS201205260122450584812426_DA.files/image014.png">平面，且，     

所以 平面，                  ……5分

所以 ．                            …………6分               

又 ， 所以四邊形為正方形，所以 ．   ………………7分                                       

所以 平面，                            ………………8分

所以 ．                          ………………9分

（Ⅲ）解：設(shè)，則，其中．

由（Ⅰ）得平面，

所以四面體的體積為．   ………11分

所以 ．                ……………13分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四面體的體積最大．  ………………14分

【解析】略