設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，則稱點（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心．記函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），f′（x）的導函數(shù)為f″（x），則有f″（a）=0．研究并利用函數(shù)f（x）=x3-3x2-sin（πx）的對稱中心，可得f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=
-8046
-8046
．
分析：函數(shù)（x）=x3-3x2-sin（πx）圖象的對稱中心的坐標為（1，-2），即x1+x2=2時，總有f（x1）+f（x2）=-4，再利用倒序相加，即可得到結論．
解答：解：∵f''（x）=6x-6+π2sinπx
又∵f''（1）=0
而f（x）+f（2-x）=x3-3x2-sinπx+（2-x）3-3（2-x）2-sin（2π-πx）
=-4
函數(shù)（x）=x3-3x2-sin（πx）圖象的對稱中心的坐標為（1，-2），
即x1+x2=2時，總有f（x1）+f（x2）=-4
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)+f（
4023
2012
）+f（
4022
2012
 ）+…+f（
1
2012
 ）=-4×4023
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=8046
故答案為：-8046
點評：本題考查函數(shù)的對稱性，確定函數(shù)的對稱中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y），f(
13
)=1，且當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）的定義域為全體R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，數(shù)列{an}滿足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(
-an
2an+1
)
（n∈N*）
（Ⅰ）求證：y=f（x）是R上的減函數(shù)；          
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）若不等式
k
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
-
1
2n+1
≤0對一切n∈N*均成立，求k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）的定義域為R+，若對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)：fk(x)=
k，f(x)≤k
f(x)，f(x)＞k
，則當函數(shù)f(x)=
1
x
，k=1時，函數(shù)fk（x）的圖象與直線x=
1
4
，x=2，y=0圍成的圖形的面積為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•閔行區(qū)一模）（文）設函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)是y=f-1（x），且函數(shù)y=f（x）過點P（2，-1），則f-1（-1）=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•南匯區(qū)二模）設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求證：y=f（x）為奇函數(shù)；
（2）在區(qū)間[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

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