Question

【題目】如圖，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通過直角梯形AA1B1B以直線AA1為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．點M為線段BC的中點，點P是線段BB1中點． （Ⅰ）求證：A1C1⊥AP；
（Ⅱ）求二面角P﹣AM﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2， 直角梯形AA1C1C通過直角梯形AA1B1B以直線AA1為軸旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，
∴∠BAC=90°，即AC⊥AB，
又∵AC⊥AA1 ， 且AB∩AA1=A，
∴AC⊥平面AA1B1B，
由已知A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面AA1B1B，
∵AP平面AA1B1B，∴A1C1⊥AP．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC，AB，AA1兩兩垂直，
分別以AC，AB，AA1為x，y，z軸，建立空間直角系，
由已知得AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2），
∵M(jìn)為線段BC的中點，P為線段BB1的中點，
∴M（1，1，0），P（0， ，1），
平面ABM的一個法向量 =（0，0，1），
設(shè)平面APM的一個法向量 =（x，y，z），
則 ，取x=2，得 =（2，﹣2，3），
由圖知二面角P﹣AM﹣B的大小為銳角，
設(shè)二面角P﹣AM﹣B的平面角為θ，
則cosθ= = = ，
∴二面角P﹣AM﹣B的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AC⊥AB，AC⊥AA1 ， 從而AC⊥平面AA1B1B，由A1C1∥AC，知A1C1⊥平面AA1B1B，由此能證明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1為x，y，z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出二面角P﹣AM﹣B的余弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．