Question

如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線(xiàn)段PC，且分別交AC、PC于D、E兩點(diǎn)，又PB=BC，PA=AB．

（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）若點(diǎn)Q是線(xiàn)段PA上任一點(diǎn)，判斷BD、DQ的位置關(guān)系，并證明結(jié)論；
（3）若AB=2，求三棱錐B﹣CED的體積．

Answer 1

（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理來(lái)加以證明，關(guān)鍵是對(duì)于DE⊥PC的證明的運(yùn)用。
（2）點(diǎn)Q是線(xiàn)段PA上任一點(diǎn)都有BD⊥DQ
（3）．

試題分析：解：
（1）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC，且DE∩BE=E， ∴PC⊥平面BDE；   4分
（2）由（Ⅰ）PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD 
同理，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD，    6分
又PA∩PC=P，  ∴BD⊥面APC，DQ?面APC，  ∴BD⊥DQ．
所以點(diǎn)Q是線(xiàn)段PA上任一點(diǎn)都有BD⊥DQ    8分
（3）∵PA=AB=2，∴， ∵AB⊥BC，
∴S_△ABC==2．AC=2
∴CD==，   9分
即S_△DCB=S_△ABC，又E是PC的中點(diǎn)
∴V _B﹣CED=S_△ABC•PA=．    12分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用空間中線(xiàn)面的垂直以及線(xiàn)線(xiàn)的垂直的判定定理和性質(zhì)定理來(lái)證明，并利用體積公式求解，屬于中檔題。