【題目】設(shè)f(x)= ﹣ax﹣b(a、b∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y+4=0,求a、b的值;
(2)當(dāng)b=1時(shí),若總存在負(fù)實(shí)數(shù)m,使得當(dāng)x∈(m,0)時(shí),f(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)= ﹣a,∴f′(1)=1﹣a.
∵曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y+4=0,f(1)=﹣ .
∴f′(1)=1﹣a=﹣ ,f(1)=e﹣e+1﹣a﹣b=﹣ .
聯(lián)立解得:a= ,b=2.
(2)解:b=1時(shí),x∈(m,0),m<0,
f(x)<0,可得:a< =g(x).
g′(x)= ,
令h(x)=(x﹣2)ex+x+2,h(0)=0,
h′(x)=(x﹣1)ex+1,h′(0)=0,
h″(x)=xex<0,
∴h′(x)<h′(0)=0,
∴h(x)<h(0)=0,
∴g′(x)>0,
∴函數(shù)g(x)在x∈(m,0)(m<0)上單調(diào)遞增,
∴g(x)>g(m)= .
∴a≤ (m<0).
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【解析】(1)f′(x)= ﹣a,根據(jù)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y+4=0,可得f′(1)=﹣ ,f(1)=﹣ .即可解出.(2)b=1時(shí),x∈(m,0),m<0,f(x)<0,可得:a< =g(x).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性與極小值即最小值即可得出.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ex﹣a , g(x)=ln(x+2)﹣4ea﹣x , 其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù)x0 , 使f(x0)﹣g(x0)=3成立,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.﹣ln2﹣1
B.﹣1+ln2
C.﹣ln2
D.ln2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為f'(x).
(Ⅰ)判斷f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f'(x)=m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 , x2(x1<x2),求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ax3﹣xlnx,若x1、x2∈(0,+∞)且x1≠x2 , 不等式(x12﹣x22)(f(x1)﹣f(x2))>0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域是(0, ),f′(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且f(x)+tanxf′(x)>0在定義域內(nèi)恒成立,則( )
A.f( )> f( )
B. sin1?f(1)>f( )
C.f( )> f( )
D. f( )> f( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|
(1)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2,+∞),求實(shí)數(shù)a的值
(2)若f(2﹣a)≥f(2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=135°,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點(diǎn),點(diǎn)M在線段PD上.
(Ⅰ)求證:EF⊥平面PAC;
(Ⅱ)如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x﹣2|,不等式f(x)≤2的解集為M.
(1)求M;
(2)記集合M的最大元素為m,若正數(shù)a,b,c滿足abc=m, 求證: .
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