（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）
定義變換：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)變換到這一平面上的點(diǎn).特別地，若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn).
（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 并求出當(dāng)時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換
：（，）下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).
（1）（2）（3）兩個(gè)
（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①.
又由條件得…②，故由①、②可解得，.
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
且橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和.
對(duì)于變換：，當(dāng)時(shí)，可得
設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為；
又即的坐標(biāo)為.
（2）設(shè)是橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，
有，由點(diǎn)，即，得：
，因而橢圓的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為和.
(3) 設(shè)是雙曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則由

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140147920438.gif" style="vertical-align:middle;" />，，故.
不妨設(shè)雙曲線方程為（），由代入得
則有,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140149261394.gif" style="vertical-align:middle;" />，故當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140149261394.gif" style="vertical-align:middle;" />，故當(dāng)時(shí)，雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，否則不存在不動(dòng)點(diǎn).
進(jìn)一步分類(lèi)可知：
（i）當(dāng)，時(shí)，即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
；
此時(shí)雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；
（ii）當(dāng)，時(shí)，即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
.
此時(shí)雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若給定橢圓C：ax2+by2=1(a>0,b>0,ab)和點(diǎn)N(x0,y0)，則稱直線l：ax0x+by0y=1為橢圓C的“伴隨直線”，
(1)若N(x0,y0)在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關(guān)系(當(dāng)直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)時(shí)，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交)，并說(shuō)明理由；
(2)命題：“若點(diǎn)N(x0,y0)在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交.”寫(xiě)出這個(gè)命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說(shuō)明理由；
(3)若N(x0,y0)在橢圓C的內(nèi)部，過(guò)N點(diǎn)任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點(diǎn)(異于A、B)，設(shè)，，問(wèn)是否為定值？說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）是否存過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題


（本題滿分13分）
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1與F2，直線過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F2且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C經(jīng)過(guò)伸縮變換變成曲線，直線與曲線相切且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，若，求面積的取值范圍。（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則此橢圓的離心率為　�。ā　　。�
A．B．C．或D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率e（2）過(guò)右焦點(diǎn)作一條弦QR，使QR⊥AB．若△的面積為，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為         ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰好過(guò)左焦點(diǎn)，則橢圓的離心率等于              。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知是以,為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn),若,,則此橢圓的離心率為_(kāi)___________.

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