Question

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離的差等于1．（I）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（II）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）和（）；（2）時(shí)，取最小值16．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意得     2分

化簡得 當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為和（）     5分

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為．

由設(shè)則

，    6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061009222894246980/SYS201306100923273352755209_DA.files/image021.png">，所以的斜率為．設(shè)，則同理可得   ，    7分

    10分

    12分

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值16．  13分

考點(diǎn)：本題主要考查軌跡方程求法，直線與拋物線的位置關(guān)系，均值定理的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題求軌跡方程時(shí)，應(yīng)用了“定義法”。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題在確定得到的基礎(chǔ)上，應(yīng)用均值定理，使問題得解。