Question

設(shè)點P，Q分別是曲線y=xe^-x和直線y=x+2上的動點，則P，Q兩點間的距離的最小值為

2

．

Answer 1

分析：對曲線y=xe^-x進(jìn)行求導(dǎo)，求出點P的坐標(biāo)，分析知道，過點P直線與直線y=x+2平行且與曲線相切于點P，從而求出P點坐標(biāo)，根據(jù)點到直線的距離進(jìn)行求解即可．

解答：解：∵點P是曲線y=xe^-x上的任意一點，和直線y=x+2上的動點Q，求P，Q兩點間的距離的最小值，如圖，就是求出曲線y=xe^-x上與直線y=x+2平行的切線與直線y=x+2之間的距離．
由y′=（1-x）e^-x 令y′=（1-x）e^-x =1，解得x=0，
當(dāng)x=0，y=0時，點P（0，0），
P，Q兩點間的距離的最小值即為點P（0，0）到直線y=x+2的距離d_min=

2

2

=

2

．
故答案為：

2

．

點評：此題主要考查導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程以及點到直線的距離公式，利用了導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，這是高考常考的知識點，此題是一道基礎(chǔ)題．